在考研數(shù)學(xué)中，線性代數(shù)的二次型所講的內(nèi)容從根本上講是特征值和特征向量在實(shí)際生活中的應(yīng)用，因此化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的核心知識(shí)為“對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣，必存在正交矩陣 使其可以相似對(duì)角化”，其過程就是上一章相似對(duì)角化在為實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí)的應(yīng)用。
由于二次型與它的實(shí)對(duì)稱矩陣式一一對(duì)應(yīng)的，所以二次型的很多問題都可以轉(zhuǎn)化為它的實(shí)對(duì)稱矩陣的問題，可見正確寫出二次型的矩陣式處理二次型問題的一個(gè)基礎(chǔ)。重點(diǎn)內(nèi)容包括：掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型的秩和標(biāo)準(zhǔn)形等概念;了解二次型的規(guī)范形和慣性定理;掌握用正交變換并會(huì)用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形;理解正定二次型和正定矩陣的概念及其判別方法。
此章節(jié)常考題型有：
第一、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。一般方法有兩種即正交變換法和配方法，而從歷年真題可以看出，大題經(jīng)常考的均是正交變換法、偶爾小題中考到配方法;今年數(shù)一、數(shù)二和數(shù)三只一個(gè)選擇題是結(jié)合初等矩陣的性質(zhì)考到了二次型中正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形這一知識(shí)點(diǎn);
第二，化二次型為規(guī)范形。利用正、負(fù)慣性指數(shù)可直接寫出;
第三，合同矩陣。經(jīng)常以小題的形式出現(xiàn);
第四，二次型正定性的判別。對(duì)于抽象二次型，一般利用正定性定義和二次型對(duì)應(yīng)的實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都為正數(shù)來進(jìn)行判定;對(duì)于數(shù)值型二次型，一般利用二次型對(duì)應(yīng)的實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值或所有的順序主子式都為正數(shù)來進(jìn)行判定。
